JavaScript BigInt Elliptisk Kurvkryptografi: En Djupdykning i Avancerade Operationer

I en era som domineras av digital interaktion, från decentraliserad finans (DeFi) till end-to-end-krypterad meddelandehantering, har styrkan i våra kryptografiska grunder aldrig varit viktigare. Elliptisk kurvkryptografi (ECC) står som en pelare inom modern kryptografi med offentliga nycklar och erbjuder robust säkerhet med mindre nyckelstorlekar jämfört med sina föregångare som RSA. Under många år var det en utmaning att utföra dessa komplexa matematiska operationer direkt i JavaScript, vilket ofta krävde specialiserade bibliotek som abstraherade bort detaljerna på låg nivå eller hanterade begränsningarna i JavaScripts standardnummertyp.

Introduktionen av den inbyggda BigInt-typen i JavaScript (ES2020) var ett revolutionerande ögonblick. Det befriade utvecklare från begränsningarna i 64-bitars flyttals-Number-typen och gav en mekanism för att hantera godtyckligt stora heltal. Denna enskilda funktion frigjorde potentialen för högpresterande, inbyggda och mer transparenta kryptografiska implementeringar direkt i JavaScript-miljöer som webbläsare och Node.js.

Medan många utvecklare är bekanta med grunderna i ECC – att generera nyckelpar och signera meddelanden – ligger den verkliga kraften i denna teknik i dess mer avancerade operationer. Den här artikeln går bortom grunderna för att utforska sofistikerade kryptografiska protokoll och tekniker som nu är tillgängliga tack vare BigInt. Vi kommer att fördjupa oss i Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) för säker nyckelutbyte, återställning av publika nycklar från signaturer och de kraftfulla, aggregatvänliga Schnorr-signaturerna.

BigInt-revolutionen inom JavaScript-kryptografi

Innan vi dyker in i avancerade operationer är det viktigt att förstå varför BigInt är en sådan game-changer för kryptografi i JavaScript.

Problemet med `Number`-typen

JavaScript's traditionella Number-typ är ett IEEE 754 dubbelprecision 64-bitars flyttalsnummer. Detta format är utmärkt för ett brett spektrum av applikationer men har en kritisk begränsning för kryptografi: det kan bara säkert representera heltal upp till Number.MAX_SAFE_INTEGER, vilket är 2⁵³ - 1.

Kryptografiska nycklar och mellanliggande värden i ECC är mycket större. Till exempel opererar den populära secp256k1-kurvan som används av Bitcoin och Ethereum på ett fält av primtal som är 256 bitar långa. Dessa siffror är storleksordningar större än vad standardtypen Number kan hantera utan att förlora precision. Att försöka utföra beräkningar med sådana tal skulle leda till felaktiga och osäkra resultat.

Enter `BigInt`: Heltal med godtycklig precision

BigInt löser detta problem elegant. Det är en distinkt numerisk typ som ger ett sätt att representera heltal av valfri storlek. Du kan skapa en BigInt genom att lägga till `n` i slutet av en heltalsliteral eller genom att anropa BigInt()-konstruktorn.

Exempel:

const aLargeNumber = 9007199254740991n; // Säkert med BigInt
const anEvenLargerNumber = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663n; // Ett 256-bitars primtal

Med BigInt fungerar alla standard aritmetiska operatorer (+, -, *, /, %, **) som förväntat på dessa massiva heltal. Denna kapacitet är grunden på vilken inbyggda JavaScript ECC-implementeringar är byggda, vilket möjliggör direkt, exakt och säker beräkning av kryptografiska algoritmer utan att förlita sig på externa WebAssembly-moduler eller besvärliga flerdelsnummerbibliotek.

En uppfräschning av grunderna i elliptisk kurvkryptografi

För att uppskatta de avancerade operationerna, låt oss kortfattat återbesöka kärnkoncepten i ECC.

I grunden är ECC baserad på den algebraiska strukturen av elliptiska kurvor över ändliga fält. Dessa kurvor definieras av Weierstrass-ekvationen:

y² = x³ + ax + b (mod p)

Där `a` och `b` är konstanter som definierar kurvans form, och `p` är ett stort primtal som definierar det ändliga fältet.

Nyckelkoncept

• Punkt på kurvan: Ett par koordinater (x, y) som uppfyller kurvekvationen. Alla våra kryptografiska operationer är i huvudsak "punktaritmetik".
• Baspunkt (G): En allmänt känd, standardiserad startpunkt på kurvan.
• Privat nyckel (d): Ett mycket stort, kryptografiskt säkert slumpmässigt heltal. Detta är din hemlighet. I samband med BigInt är `d` en stor `BigInt`.
• Publik nyckel (Q): En punkt på kurvan som härleds från den privata nyckeln och baspunkten genom en operation som kallas skalär multiplikation: Q = d * G. Detta innebär att addera punkten G till sig själv `d` gånger.

Säkerheten i ECC beror på Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem (ECDLP). Det är beräkningsmässigt enkelt att beräkna den publika nyckeln `Q` givet den privata nyckeln `d` och baspunkten `G`. Det är emellertid beräkningsmässigt omöjligt att bestämma den privata nyckeln `d` givet endast den publika nyckeln `Q` och baspunkten `G`.

Avancerad Operation 1: Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) Nyckelutbyte

En av de mest kraftfulla applikationerna av ECC är att etablera en delad hemlighet mellan två parter över en osäker kommunikationskanal. Detta uppnås med hjälp av Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) nyckelutbytesprotokoll.

Målet

Föreställ dig två individer, Alice och Bob, som vill kommunicera säkert. De måste komma överens om en symmetrisk krypteringsnyckel som bara de känner till, men deras enda kommunikationsmedel är en offentlig kanal som en tjuvlyssnare, Eva, kan övervaka. ECDH tillåter dem att beräkna en identisk delad hemlighet utan att någonsin överföra den direkt.

Protokollet steg-för-steg

1. Nyckelgenerering:
   • Alice genererar sin privata nyckel, `d_A` (en stor slumpmässig BigInt), och sin motsvarande publika nyckel, `Q_A = d_A * G`.
   • Bob genererar sin privata nyckel, `d_B` (en annan stor slumpmässig BigInt), och sin publika nyckel, `Q_B = d_B * G`.
2. Utbyte av offentlig nyckel:
   • Alice skickar sin publika nyckel, `Q_A`, till Bob.
   • Bob skickar sin publika nyckel, `Q_B`, till Alice.
   • Eva, tjuvlyssnaren, kan se både `Q_A` och `Q_B`, men kan inte härleda de privata nycklarna `d_A` eller `d_B` på grund av ECDLP.
3. Beregning av delad hemlighet:
   • Alice tar Bobs publika nyckel `Q_B` och multiplicerar den med sin egen privata nyckel `d_A` för att få en punkt S: S = d_A * Q_B.
   • Bob tar Alices publika nyckel `Q_A` och multiplicerar den med sin egen privata nyckel `d_B` för att få en punkt S: S = d_B * Q_A.

Magin i kommutativitet

Både Alice och Bob kommer fram till exakt samma hemliga punkt `S` på kurvan. Detta beror på att skalär multiplikation är associativ och kommutativ:

Alices beräkning: S = d_A * Q_B = d_A * (d_B * G)

Bobs beräkning: S = d_B * Q_A = d_B * (d_A * G)

Eftersom d_A * d_B * G = d_B * d_A * G, beräknar de båda samma resultat utan att någonsin avslöja sina privata nycklar.

Från delad punkt till symmetrisk nyckel

Den resulterande delade hemligheten `S` är en punkt på kurvan, inte en symmetrisk nyckel som är lämplig för krypteringsalgoritmer som AES. För att härleda en nyckel är en standardmetod att ta x-koordinaten för punkten `S` och skicka den genom en Key Derivation Function (KDF), som HKDF (HMAC-baserad Key Derivation Function). KDF:en tar den delade hemligheten och eventuellt ett salt och annan information och producerar en kryptografiskt stark nyckel med en önskad längd.

Alla underliggande beräkningar – att generera privata nycklar som slumpmässiga BigInt och utföra skalär multiplikation – förlitar sig starkt på BigInt-aritmetik.

Avancerad Operation 2: Återställning av publik nyckel från signaturer

I många system, särskilt blockkedjor, är effektivitet och dataminimering av största vikt. Vanligtvis, för att verifiera en signatur, behöver du meddelandet, själva signaturen och den publika nyckeln till signeraren. En smart egenskap hos Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) tillåter dig emellertid att återställa den publika nyckeln direkt från meddelandet och signaturen. Detta innebär att den publika nyckeln inte behöver överföras, vilket sparar värdefullt utrymme.

Hur det fungerar (hög nivå)

En ECDSA-signatur består av två komponenter, (`r`, `s`).

• `r` härleds från x-koordinaten för en slumpmässig punkt `k * G`.
• `s` beräknas baserat på meddelandehash (`z`), den privata nyckeln (`d`) och `r`. Formeln är: `s = k_inverse * (z + r * d) mod n`, där `n` är kurvans ordning.

Genom algebraisk manipulation av signaturverifieringsekvationen är det möjligt att härleda ett uttryck för den publika nyckeln `Q`. Denna process ger emellertid två möjliga giltiga publika nycklar. För att lösa denna tvetydighet inkluderas en liten bit extra information som kallas recovery ID (ofta betecknad som `v` eller `recid`) med signaturen. Detta ID, vanligtvis 0, 1, 2 eller 3, specificerar vilken av de möjliga lösningarna som är den korrekta och om nyckelns y-koordinat är jämn eller udda.

Varför `BigInt` är avgörande

De matematiska operationer som krävs för återställning av publika nycklar är intensiva och involverar modulära inverser, multiplikation och addition av 256-bitars tal. Till exempel involverar ett nyckelsteg att beräkna `(r_inverse * (s*k - z)) * G`. Dessa operationer är exakt vad BigInt är designad för. Utan den skulle det vara omöjligt att utföra dessa beräkningar i inbyggd JavaScript utan betydande förlust av precision och säkerhet.

Praktisk tillämpning: Ethereum-transaktioner

Denna teknik används med framgång i Ethereum. En signerad transaktion innehåller inte avsändarens publika adress direkt. Istället återställs adressen (som härleds från den publika nyckeln) från komponenterna `v`, `r` och `s` i signaturen. Detta designval sparar 20 byte på varje enskild transaktion, en betydande besparing i skala med en global blockkedja.

Avancerad Operation 3: Schnorr-signaturer och aggregering

Även om ECDSA används flitigt har den vissa nackdelar, inklusive signaturformbarhet och brist på aggregeringsegenskaper. Schnorr-signaturer, ett annat ECC-baserat schema, ger eleganta lösningar på dessa problem och anses av många kryptografer vara överlägsna.

Viktiga fördelar med Schnorr-signaturer

• Bevisbar säkerhet: De har ett mer okomplicerat och robust säkerhetsbevis jämfört med ECDSA.
• Icke-formbarhet: Det är inte möjligt för en tredje part att ändra en giltig signatur till en annan giltig signatur för samma meddelande och nyckel.
• Linearitet (Superkraften): Detta är den viktigaste fördelen. Schnorr-signaturer är linjära, vilket möjliggör kraftfulla aggregeringstekniker.

Signaturaggregering förklarad

Linearitetsegenskapen innebär att flera signaturer från flera undertecknare kan kombineras till en enda, kompakt signatur. Detta är en game-changer för multi-signatur-scheman (multisig).

Tänk dig ett scenario där en transaktion kräver signaturer från 3 av 5 deltagare. Med ECDSA skulle du behöva inkludera alla tre individuella signaturer på blockkedjan, vilket tar upp betydande utrymme.

Med Schnorr-signaturer är processen mycket effektivare:

1. Nyckelaggregering: De 3 deltagarna kan kombinera sina individuella publika nycklar (`Q1`, `Q2`, `Q3`) för att skapa en enda aggregerad publik nyckel (`Q_agg`).
2. Signaturaggregering: Genom ett samarbetsvilligt protokoll som MuSig2 kan deltagarna skapa en enda aggregerad signatur (`S_agg`) som är giltig för den aggregerade publika nyckeln `Q_agg`.

Resultatet är en transaktion som ser identisk ut med en standardtransaktion med en enda signerare på utsidan. Den har en publik nyckel och en signatur. Detta förbättrar dramatiskt effektiviteten, skalbarheten och integriteten, eftersom komplexa multisig-inställningar blir omöjliga att skilja från enkla.

`BigInt`s roll

Magin med aggregering är förankrad i enkel elliptisk kurvpunktsaddition och skalär aritmetik. Att skapa den aggregerade nyckeln involverar `Q_agg = Q1 + Q2 + Q3`, och att skapa den aggregerade signaturen involverar att addera de individuella signaturkomponenterna modulo kurvans ordning. Alla dessa operationer – som utgör grunden för protokoll som MuSig2 – utförs på stora heltal och kurvkoordinater, vilket gör BigInt till ett oumbärligt verktyg för att implementera Schnorr-signaturer och aggregeringsscheman i JavaScript.

Implementeringsöverväganden och bästa säkerhetsmetoder

Även om BigInt ger oss möjlighet att förstå och implementera dessa avancerade operationer är det en riskfylld uppgift att bygga kryptografi av produktionskvalitet. Här är några viktiga överväganden.

1. Rulla INTE din egen krypto för produktion

Den här artikeln syftar till att utbilda och illustrera den underliggande mekaniken. Du bör aldrig implementera dessa kryptografiska primitiver från grunden för en produktionsapplikation. Använd väl beprövade, granskade och kollegialt granskade bibliotek som `noble-curves`. Dessa bibliotek är specialbyggda av experter och tar hänsyn till många subtila men kritiska säkerhetsproblem.

2. Konstanttidsoperationer och sidokanalsattacker

En av de farligaste fallgroparna är sidokanalsattacken. En angripare kan analysera icke-funktionella aspekter av ett system – som strömförbrukning eller den exakta tid en operation tar – för att läcka information om hemliga nycklar. Om till exempel en multiplikation med en "1"-bit i nyckeln tar lite längre tid än med en "0"-bit, kan en angripare rekonstruera nyckeln genom att observera tidsvariationer.

Standard BigInt-operationer i JavaScript är inte konstanttid. Deras exekveringstid kan bero på värdet på operanderna. Professionella kryptografiska bibliotek använder mycket specialiserade algoritmer för att säkerställa att alla operationer som involverar privata nycklar tar en konstant tid, oavsett nyckelns värde, vilket mildrar detta hot.

3. Säker generering av slumptal

Säkerheten i alla kryptografiska system börjar med kvaliteten på dess slumpmässighet. Privata nycklar måste genereras med hjälp av en kryptografiskt säker pseudoslumpgenerator (CSPRNG). I JavaScript-miljöer, använd alltid de inbyggda API:erna:

• Webbläsare: crypto.getRandomValues()
• Node.js: crypto.randomBytes()

Använd aldrig Math.random() för kryptografiska ändamål, eftersom det inte är designat för att vara oförutsägbart.

4. Validering av domänparameter och publik nyckel

När du tar emot en publik nyckel från en extern källa är det avgörande att validera den. En angripare kan tillhandahålla en skadlig punkt som faktiskt inte ligger på den specificerade elliptiska kurvan, vilket kan leda till attacker som avslöjar din privata nyckel under ECDH-nyckelutbyte (t.ex. Invalid Curve Attacks). Ansedda bibliotek hanterar denna validering automatiskt.

Slutsats

Ankomsten av BigInt har i grunden förändrat landskapet för kryptografi inom JavaScript-ekosystemet. Det har flyttat ECC från riket av ogenomskinliga, svarta lådors bibliotek till något som kan implementeras och förstås inbyggt, vilket främjar en ny nivå av transparens och kapacitet.

Vi har utforskat hur denna enskilda funktion möjliggör avancerade och kraftfulla kryptografiska operationer som är centrala för moderna säkra system:

• ECDH-nyckelutbyte: Grunden för att upprätta säkra kommunikationskanaler.
• Återställning av publik nyckel: En effektivitetsökande teknik som är avgörande för skalbara system som blockkedjor.
• Schnorr-signaturer: Ett nästa generations signaturschema som erbjuder överlägsen effektivitet, integritet och skalbarhet genom aggregering.

Som utvecklare och arkitekter är det inte längre bara en akademisk övning att förstå dessa avancerade koncept. De distribueras i globala system idag, från Taproot-uppgraderingen i Bitcoin till de säkra meddelandeprotokoll som skyddar våra dagliga konversationer. Även om den slutliga implementeringen alltid bör överlåtas till granskade, expertgranskade bibliotek, ger en djup förståelse för mekaniken, möjliggjord av verktyg som BigInt, oss möjlighet att bygga säkrare, effektivare och mer innovativa applikationer för en global publik.